一道七年级平面几何作业题

艾茉莉 · 发表于 2026-4-7 08:24

我们这里小学 5 年，7 年级相当于初二。每个学区的小学(Elementary)、初中（Middle School) 和高中（High School) 是不一样的，但初等教育年限总数都是 12 年。比如我们这里的学区，小学五年，初中三年，高中四年。

这道题是 7 年级学生学习平面几何，这个班大约 7 或者 8 个学生，原则上不超过 10 个学生。这是从整个县同年级中选出来的孩纸，因此这属于“百里挑一”的学生。这些孩子通常来自不同的地方，通常周末集中学习两个小时。这次教师所讲的内容是尺规作图。

这道题是教师布置给学生们两道课后作业中的一道，一周后交作业（因为每周只学习一次两小时）。

题：给定两根线段，长度分别是 a，b；假定 a >= b > 0。用直尺和圆规作出：
1）a + b，以及 a - b；
2）a*b 以及 a/b ;
3) sqrt (a)

艾茉莉 · 发表于 2026-4-7 08:25

sqrt (a) 就是 a 的平方根，要求用尺规作图作出这个值。

原则上，完成这道作业题后，再熟悉一些三角函数，就可以“按部就班”地让学生们弄明白高斯当年是如何用直尺圆规作出正十七边形的。

艾茉莉 · 发表于 2026-4-7 08:25

艾茉莉 · 发表于 2026-4-7 08:32

完成这道作业题后，也能明白用尺规作图，是无法将一个角三等分的（这是古希腊用尺规作图的古典三大难题之一）
这是因为用尺规作图对两个数（线段长度）所能作出的运算，可以开平方根，但不能开立方。
因此，如果将一个角三等分，假设这个角是 a, 那么就有：
cos (a/3) = 4cos^3 (a) - 3cos(a)
这就涉及开立方，这是尺规作图无法完成的。

丘成桐当年写过一本小册子，大约就是说用尺规作图无法三等分角，阅读对象就是中学生，也和这里的习题是一回事。当然那本小册子说的是数域和数域的扩张中的一个特例。